Geodetické pomůcky: převod úhlů a sklonů, plocha polygonu

Soustava souřadnic

Platí pro polygon i pro směrník níže. Volba rozhoduje o tom, od které osy a kterým směrem se měří směrník.

Plocha a obvod polygonu ze souřadnic

Vzdálenost a směrník dvou bodů

Jak se počítá

• Jednotky úhlu. 1 gon = 1/400 plného úhlu, tedy 400 gon = 360° a 100 gon = 90° (pravý úhel). 1 gon = 0,9° = 54′ = π/200 rad. 1° = 60′ = 3 600″. 2π rad = 360°.
• Sklon. Sklon v procentech = 100 · tan α, v promile = 1 000 · tan α, poměr 1 : n má tan α = 1 / n (n je vodorovná vzdálenost na 1 jednotku převýšení). 100 % je 45°. Procenta se tedy nerovnají sinu úhlu a sklon se vztahuje k vodorovné vzdálenosti, ne k délce šikmé strany.
• Plocha polygonu (Gaussův vzorec): P = ½ · |Σ (x_i · y_i+1 − x_i+1 · y_i)|, poslední bod se spojí s prvním. Kontrolně se počítá i tvar ½ · Σ x_i · (y_i+1 − y_i−1). Vzorec platí pro jednoduchý polygon, tedy takový, jehož hrany se neprotínají ani nedotýkají. Součet bez absolutní hodnoty má znaménko podle směru obíhání, plocha je jeho absolutní hodnota, takže vyjde stejně v obou směrech.
• Obvod = součet délek stran √(Δx² + Δy²), včetně strany od posledního bodu k prvnímu.
• Vzdálenost d = √(ΔX² + ΔY²). Směrník σ = arctan(ΔY / ΔX) s opravou kvadrantu (v programu funkce atan2), v rozsahu 0 až 400 gon (0° až 360°). Zpětný směrník je σ ± 200 gon.

Konvence os a směrníku. V geodetické soustavě je osa X svislá a osa Y vodorovná (proti matematické konvenci, kde je x vodorovně). Směrník se měří od kladné osy X po směru hodinových ručiček. V kartézské soustavě (CAD, GIS) je X vodorovně a Y svisle; nástroj tam počítá azimut od osy Y (nahoru) po směru hodinových ručiček, tedy v obou případech úhel od svislé osy k bodu.

Zvláštnost S-JTSK. V S-JTSK míří kladná osa X na jih a kladná osa Y na západ; obě souřadnice jsou na území ČR kladné a Y je vždy menší než X. Směrník 0 gon proto neznamená sever, ale směr kladné osy X (na jih), a směrník v S-JTSK není azimut od severu. Délky v rovině zobrazení se od délek na zemském povrchu liší (délkové zkreslení je od +14 cm/km do −10 cm/km). Nástroj souřadnice netransformuje a se zkreslením nepočítá.

Zdroje. Hodnoty a vzorce jsme ověřili v otevřených zdrojích:

• Wikipedia, Gradian (1 gon = 0,9° = 54′ = π/200 rad) a Wikipedie, Gon.
• Wikipedia, Grade (slope): procenta, promile a poměr 1 : n přes tangens, tabulka 45° = 100 % = 1 : 1, 10 % = 1 : 10.
• Wikipedia, Shoelace formula: Gaussův vzorec, jednoduchý polygon, znaménko podle směru obíhání. Příklad pětiúhelníku (1,6) (3,1) (7,2) (4,4) (8,5) má plochu 16,5.
• Wikipedia (německy), Richtungswinkel: směrník od osy x po směru hodinových ručiček, osy x a y vyměněné proti matematice, oprava kvadrantu, funkce atan2.
• Wikipedie, Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální: orientace os X (jih) a Y (západ), kladné souřadnice, délkové zkreslení.
• Vyhláška č. 264/2000 Sb. o základních měřicích jednotkách (příloha, část 2): 1 gon = π/200 rad, 1° = π/180 rad a 1 oběh = 2π rad, tedy 1 gon = 0,9°.
• ČVUT, Fakulta stavební, Geodézie pro architekty 2: S-JTSK s osou X k jihu a osou Y na západ, směrník od rovnoběžky s osou +X po směru hodin, oprava kvadrantu, zpětný směrník + 200 gon, příklad se směrníky 62,5666 až 337,4334 gon, sklon v procentech jako h/d · 100 %.
• Univerzita Karlova, Přírodovědecká fakulta (M. Čábelka), Souřadnicové výpočty: orientace os S-JTSK, geodeticky kladný směr po směru hodin, směrník a zpětný směrník.
• ČÚZK, Geoportál, Souřadnicové systémy: S-JTSK má osu X k jihu a osu Y k západu; v častých dotazech je vztah X = −y, Y = −x mezi souřadnicemi v GIS (EPSG 5514) a kladným zápisem S-JTSK.
• Univerzita P. J. Šafárika v Košicích (J. Hofierka), Kartografia a geoinformatika 1, přednáška 5 (slovensky): osy S-JTSK a délkové zkreslení od +14 cm/km do −10 cm/km.
• ČVUT, Fakulta stavební, Geodézie 2, přednáška 2: Určování ploch a objemů: výměra ze souřadnic podle l’Huilierových vzorců (obě podoby součtu), jednotný směr číslování bodů.
• SPŠ stavební České Budějovice (J. Marešová), Výpočet výměr z pravoúhlých souřadnic: po směru hodin kladná plocha, proti směru záporná, kvadrant nehraje roli.
• SPŠ zeměměřická (D. Mlčková), Geodetické výpočty, 2. část: vzorce a pravidla výpočtu výměr, příklad 1.4 se souřadnicemi v S-JTSK (P = 62 617 m²).
• P. Potužák, Praktická geometrie, část druhá, kapitola 6 Výpočet výměr (Jednota českých matematiků a fyziků, 1949, s. 90 až 91): souřadnicové vzorce pro výměru, obě podoby se používají jako vzájemná kontrola.
• TZB-info, Výpočet sklonu střechy nebo rampy: převody stupně, procenta, promile a poměr 1 : n (vzorce přečteny ze skriptu stránky).
• Vyhláška č. 398/2009 Sb.: sklony zapsané v poměru i v procentech (1 : 12 je 8,33 %, 1 : 16 je 6,25 %, 1 : 50 je 2,0 %).

Český výraz „směrník“, orientaci os S-JTSK a výpočet výměr ze souřadnic potvrzují česká skripta a stránka ČÚZK. U promile (‰) je jediným otevřeným zdrojem převodník TZB-info a samotná definice promile jako tisíciny.

Časté otázky